– то теперь необходимо рассмотреть само иррациональное число (как синтез внешней алогически становящейся иррациональности и внутренней дробности) в свете самой же иррациональности.
Что значит рассмотреть иррациональность в свете самой иррациональности, т.е. рассмотреть ее как таковую, в ее существе, в ее первоначальном и чистейшем существе? Это значит рассмотреть самый исток иррациональности, определить ее исходную сущность, найти самый ее перво-принцип. Иначе можно сказать так. Поскольку эта новая структура есть синтез, она должна быть границей для первого момента, для тезиса триады. Граница должна дать первоначальное очертание сущности, определить ее смысловую природу, ясно отличить ее от всего, что не является ею. Найти перво-принцип – это и значит уметь провести границу или быть в состоянии сказать нечто, отличивши это нечто от всего прочего. Так вот и возникает вопрос: где же нам искать самый перво-принцип иррациональности и, стало быть, где же находится смысловая граница, определяющая эту иррациональную сущность и дающая ее определенную и специфическую значимость? Где эта смысловая законченность иррациональности и как называется этот новый синтез внутренней дробности и внешней алогически становящейся иррациональности, синтез, уже освобожденный от самой иррациональной текучести и являющийся лишь ее первопринципом, ее внутренней закономерностью и исходным первоначалом?
Этот перво-принцип и эта внутренняя закономерность иррациональности есть предел, вернее, то, что в математике называется пределом.
Эта фундаментальнейшая категория всей математики требует четкого разъяснения, и тут диалектика должна показать всю свою силу и основательность. Иррациональность имеет свой первоисток в пределе. Предел – внутренний исходный перво-принцип иррациональности. Чтобы усвоить это учение об иррациональности, надо произвести ряд отграничений.
a) Предел не есть просто голая и абстрактная идея числа, изолированно пребывающая сама в себе. Если взять ряд, члены которого образованы по типу n/(n+1), т.е., полагая n = 1, 2, 3 …, взять ряд, 1/2, 2/3, 3/4 и т.д., то на основании
an = 1 – 1/(n + 1)
легко видеть, что пределом этого ряда является 1. Равным образом, если взять ряд
an = 1 – n/2n,
то при возрастании n до бесконечности мы получаем в качестве предела 0. Эта единица и этот нуль, являющиеся пределами двух последовательностей, сами по себе взятые, отнюдь не есть пределы. Смысл единицы есть просто единица, и ни о каком пределе тут нет ровно никакой речи. Так же и относительно нуля. Пределом 0, 1 и всякое другое число становится не само по себе, не в силу своей чисто абстрактной значимости, но исключительно лишь в силу того, что оно является некоей притягивающей силой для других величин, т.е. в силу того, что оно перестает быть изолированным и голым числом, но заряжается некоей числовой заданностью и как бы издали привлекает к себе целую бесконечность определенным образом расположенных величин. Так, в первом примере единица, являясь пределом последовательности, тянет к себе эту последовательность, притягивает к себе наподобие некоего магнита целую массу каких-то своеобразных математических точек. И об этом мы знаем не просто из числового значения единицы (не имеющего, понятно, никакого отношения к последовательности или пределу), но из характера той смысловой сферы, в которую погружена эта единица. Значит, в определение предела мы обязаны внести момент закономерности протекания последовательности, постепенно осуществляемой по мере дальнейшего распространения этого протекания. Предел есть всегда та или иная размерность, расположенность и упорядоченность процесса, динамический смысл и закономерность построения последовательности. Предел не есть просто ординарное голое число или величина, но он есть смысловой первоисток числового становления. Отсюда начинает становиться понятным, что предел есть в некотором роде иррациональность, рассмотренная как иррациональность же, т.е. он есть иррациональное становление – с точки зрения не просто своего протекания и текучести, но с точки зрения смысловой закономерности этого становления. Это есть сомкнутая и неразвернутая закономерность числового становления, смысловая заряженность этого становления, методический его перво-принцип – и чистая возможность.
Но точно так же предел не есть и та или иная приближенная величина, возникающая на его основе. Эта приближенная величина не есть самый предел, но именно лишь приблизительное выражение предела. Если взять число π, то это π не есть ни 3,14, ни 3,145, ни 3,1415 и т.д. Никакое приближение, как бы оно далеко ни шло, не есть самый предел, но лишь приближение к пределу. Отдельные приближенные выражения предела суть конечные, изолированные количества, никуда не стремящиеся и ни для чего не являющиеся целью и предельной причиной. Предел виртуален, или, что то же, предел есть смысловая цель и задание для некоего числового становления. Каждое же отдельное выражение предела ровно ничего не говорит о самом пределе и, само по себе взятое, ничем принципиально не отличается ни от какого любого числа вообще. Если число, точно выражающее предел, например e, не есть обыкновенное число, но указывает лишь смысловой перво-принцип и потенциальную закономерность становящегося ряда, то число, приблизительно выражающее предел, также есть особое число, если его связывать с пределом, а именно число, стремящееся к пределу, притягивающееся к пределу. Само по себе число 2,1718 не есть предел, выражаемый знаком e, но если рассматривать его в контексте предельных отношений, то оно влечется к пределу так же, как предел является для него неким смысловым магнитом. Итак, предел не есть ни число, точно его выражающее (если брать его само по себе, т.е. как просто число, как таковое), ни число, приближенно его выражающее (если брать его тоже в изолированном виде), ибо предел есть смысловым образом заряженный перво-принцип становления, а не отдельные становящиеся моменты, хотя бы и взятые в самом конце становления.
c) Вполне понятно и то, что предел не есть само становление. Когда мы имеем числовую последовательность, то это есть становление к пределу, но не самый предел. И тут также нельзя оперировать изолированными величинами, хотя бы даже это были и все величины, относящиеся к данной области. Взять все моменты, из которых состоит становление данного ряда, совсем не значит взять предел этого ряда. Это будет ряд, которому свойствен какой-то предел, но не самый предел. Тут также не хватает смысловой заряженности и потенциальной оформленности, и тут также это заменено изолированной структурой (ибо становящийся ряд, взятый как таковой, тоже есть некая неподвижность); становится становящееся, но само становление не становится, оно неподвижно, как и огонь жжется, но огненность есть отвлеченное понятие, оно не огонь и не жжется. Нужно брать не становление, но его исходную закономерность, развертывающуюся в определенной последовательности, потенциальную упорядоченность становления.
d) Не поможет тут также и антитеза внутреннего и внешнего, ибо эта антитеза слишком обща и она входит уже в простое рациональное число, не говоря уже об иррациональности. Предел не есть только внутреннее для приближенного выражения предела как для чего-то внешнего. Конечно, такое противопоставление вполне правильно, и предел есть на самом деле нечто внутреннее, по отношению к чему всякое приближенное его выражение оказывается чем-то внешним. Но это не только так, и тут еще нет логического определения предела. Это один из моментов определения, но не само определение.
e) Наконец, предел нельзя понимать и как нечто обязательно иррациональное. В вышеприведенных примерах, где пределом оказывается 1 или 0, совершенно ясно, что ни 1, ни 0 не есть иррациональность. Наоборот, эти величины вполне рациональны. Однако предел не есть и нечто обязательно рациональное. Исток рациональности не есть нечто иррациональное. Тут опять вполне уместна аналогия с огнем, который хотя и жжется, но понятие огня не жжется, или с треугольником, который хотя и треуголен, но сама треугольность, понятие треугольника отнюдь не треугольно. Но точно так же нет никаких оснований считать предел и чем-то обязательно рациональным. Точное числовое выражение предела может быть рационально (как в вышеприведенных примерах 0 и 1), но мы уже знаем, что точное числовое выражение предела как раз не есть предел.
После всех этих отграничений понятие предела становится гораздо более ясным и по крайней мере выясняется та область, где нужно искать определение предела.
Основной вывод предыдущих отграничений сводится к следующему. Предел есть закономерность алогического становления, находящаяся не вне его и не в каком-нибудь отдельном его моменте, но имманентно присущая всему становлению и внутренне оформляющая его протекание. Это, собственно говоря, и есть определение предела. Однако дадим это определение в более расчлененной форме.
a) Ясно до всякого рассуждения, что 1) предел может существовать только там, где даны не просто устойчивые и взаимно изолированные числовые структуры, но – только там, где налична стихия становления. Алогически становящаяся отрицательность только и может обеспечить продвижение к пределу, и без этого становления предел превращается просто в обыкновенное неподвижное и изолированное число. Далее, что такое становление? Становление есть отвлеченное тождество бытия и инобытия, и в нем еще не раскрыто ни то, что становится, ни то, как оно становится. Необходимо, следовательно, чтобы было то, что становится, т.е. необходимо, чтобы становление потеряло свой плоскостной (в смысле предметного безразличия) характер и стало рельефным, перспективным.
