Алексей Айдас – Теория Магии. Том 2 (страница 6)

или

SU

(3)

_M

).

В этом случае преобразования не коммутируют (как повороты в трёхмерном пространстве: повернуть сначала вокруг оси

X

, потом вокруг

Y

— не то же самое, что в обратном порядке). Это приводит к тому, что кванты магического поля взаимодействуют друг с другом, подобно глюонам. Они могут образовывать связанные состояния («маглюболы») и участвовать в сложных нелинейных процессах, что открывает богатые возможности для магических техник, основанных на самодействии поля

M_c

.

1.4.2. Калибровочные преобразования для магических полей

Требование инвариантности лагранжиана относительно локальных преобразований группы G_M диктует, как именно должны преобразовываться магические поля M_k при калибровочных преобразованиях. В случае неабелевой группы закон преобразования становится нелинейным:

Здесь: - θ = θ(x) — параметр преобразования, который является функцией координат и принимает значения в алгебре Ли группы G_M. - ∂_μ θ — стандартный член, аналогичный градиентному преобразованию в электродинамике. - [M_k,θ ] — коммутатор в алгебре Ли. Этот член появляется только для неабелевых групп и отражает тот факт, что поля M_k сами несут магический заряд и взаимодействуют друг с другом.

Наличие коммутатора означает, что калибровочные бозоны поля M_c могут испускать и поглощать другие такие же бозоны. Это самодействие является источником нелинейностей в уравнениях поля и делает возможным существование солитонов, вихрей и других топологических структур, столь важных для магии.

1.4.3. Механизм генерации масс (Магический механизм Хиггса)

Симметрия G_M, как и электрослабая симметрия в Стандартной модели, может быть спонтанно нарушена. Это происходит, если некоторое скалярное магическое поле (аналог поля Хиггса) приобретает ненулевое вакуумное среднее. Рассмотрим, к чему это приводит.

Пусть существует комплексное скалярное поле Φ (или набор полей), преобразующееся по некоторому представлению группы G_M. Его потенциал имеет типичную «хиггсовскую» форму:

•

Если

μ

²

> 0, потенциал имеет единственный минимум в точке

Φ

= 0. Поле в вакууме равно нулю, симметрия

G_M

не нарушена. Кванты калибровочного поля

M_c

безмассовы.

•

Если

μ

²

< 0, точка

Φ

= 0 становится неустойчивой (локальный максимум), а минимумы потенциала образуют «окружность» ненулевых значений: |

Φ

| =

v_c

= √(-

μ

²

/(2

λ

)). Поле

Φ

«скатывается» в один из этих минимумов, приобретая ненулевое вакуумное среднее

v_c

.

Это и есть спонтанное нарушение симметрии.

Последствия нарушения симметрии G_M:

Масса калибровочных бозонов. Кванты полей M_c, соответствующие нарушенным генераторам группы G_M, приобретают массу. В случае U(1)_M масса единственного калибровочного бозона Z′_c равна M_Z′c = g_c v_c, где g_c — калибровочная константа связи. Чем больше v_c, тем тяжелее частица.

Появление магического бозона Хиггса. В спектре частиц появляется массивная скалярная частица — магический бозон Хиггса φ_c. Его масса M_φc = √(2λ)v_c. Эта частица может быть как легче, так и тяжелее калибровочного бозона.

Эффективные потенциалы и топологические дефекты. Нарушение симметрии создаёт условия для возникновения топологических дефектов (вихрей, струн, монополей), которые представляют собой устойчивые полевые конфигурации, «замороженные» в состоянии с нарушенной симметрией. Эти дефекты играют ключевую роль в магии как долгоживущие резервуары энергии и каналы её передачи.

Почему это важно для магии? Спонтанное нарушение G_M объясняет, почему магические поля обычно не проявляют себя на макроуровне: их кванты массивны, и для их рождения требуется значительная энергия. Оператор, по сути, должен локально «восстановить» симметрию или возбудить кванты над вакуумом, что и требует специальных техник и резонансных условий. С другой стороны, существование топологических дефектов, возникших при нарушении симметрии в ранней Вселенной или в местах силы, даёт оператору готовые «инструменты» для работы с магической энергией.

Резюме §1.4

В этом разделе мы заложили алгебраический фундамент нашей теории. Мы показали, что:

Полная группа симметрий включает общекоординатные преобразования (диффеоморфизмы), калибровочные группы Стандартной модели и новую магическую группу G_M.

Структура G_M (абелева или неабелева) определяет, будут ли кванты поля M_c взаимодействовать друг с другом, и какие законы сохранения магического заряда действуют.

Калибровочная инвариантность относительно G_M диктует вид преобразований полей и форму их взаимодействий.

Спонтанное нарушение симметрии G_M (магический механизм Хиггса) приводит к появлению масс у калибровочных бозонов Z′_c, рождению магического бозона Хиггса φ_c и возникновению топологических дефектов.

Таким образом, симметрии не только придают теории внутреннюю согласованность и красоту, но и определяют ключевые свойства магических полей, которые будут использоваться в динамике (Глава 2) и при описании конкретных техник (Глава 5).

§ 1.5. Частоты поля, резонансы, когеренция и декогеренция (введение)

До сих пор мы занимались «статикой» магических полей: определили, из чего они состоят (§1.1), как классифицируются (§1.2), в каком геометрическом пространстве существуют (§1.3) и каким симметриям подчиняются (§1.4). Однако магия — это прежде всего динамика: поля меняются во времени, взаимодействуют, переносят энергию. Чтобы подготовить почву для последующих глав, где эти процессы будут рассмотрены во всей полноте, мы введём здесь четыре фундаментальных понятия, без которых невозможно понять, как работает магия: частота, резонанс, когеренция и декогеренция.