Александр Волошин – Нейротон. Занимательные истории о нервном импульсе (страница 42)

,

которая есть производная по времени закона ёмкости, Q = CV. Если на вход системы подаётся ток, то разность потенциалов (напряжение V_m,) на мембране возрастает со временем, пока не достигает некоторого порогового значения V_th, при котором происходит скачкообразное изменение потенциала на выходе и напряжение сбрасывается до остаточного потенциала. После этого цикл работы повторяется с начала, пока опять не накопится энергия для следующего срабатывания. Эта модель имеет один существенный недостаток – бесконечно большое линейное возрастание частоты срабатывания при линейном увеличении входного тока, что возможно только в абсолютно идеальных условиях без утечек.

Поэтому модель была уточнена введением рефрактерного периода t_ref, который ограничивает частоту срабатывания, задерживая срабатывание на некоторое время после достижения потенциала действия. Частота срабатывания в этом случае может быть описана следующей формулой:

Недостаток этого подхода заключается в проявлении независимой от времени способности запоминания. Если модель получает некоторый заряд, недостаточный для срабатывания, она будет хранить его до следующего подзаряда. Если же дополнительного подзаряда не произойдёт – напряжение будет сохраняться вечно, что явно не соответствует процессам, наблюдаемым на реальной мембране.

Метод «интегрировать-и-сработать» с утечками

Исправить недостаток вечной памяти позволило введение концепции утечки. Метод моделирует имитацию диффузии ионов, происходящую в мембране в случае недостижения условий для генерации потенциала действия. Улучшенная подобным образом модель может быть описана следующей формулой:

где R_m – значение электрического сопротивления мембраны. Теперь, чтобы сгенерировался потенциал действия, значение тока на входе должно превысить некоторый порог I_th = V_th / R_m. Иначе происходит утечка, аннулируя любые изменения потенциала. Частота срабатывания принимает следующий вид:

что сходится с предыдущей моделью (без утечки) для больших величин тока.

Модель Ходжкина – Хаксли

В модели предложенной Ходжкиным и Хаксли, введённая ранее зависимость напряжения от тока доводится до зависимости напряжения от многих входных сигналов.

Они вводят новую эквивалентную электрическую схему нервного волокна. В ней уже учтены внутренние источники токов E_n и {\displaystyle E_ {L}} E_L и, в отличие от кабельной теории, нет необходимости в индуктивности.

В схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свой биофизический аналог. Внутреннему липидному слою клеточной мембраны соответствует электроёмкость ({\displaystyle C_ {m}} C_m). Потенциал-зависимые ионные каналы отвечают за нелинейную электрическую проводимость ({\displaystyle G_ {n}} g_n), где {\displaystyle n} n – отдельный вид ионных каналов) – это означает, что проводимость является потенциал-время-зависимой величиной.

Рисунок 42. Эквивалентная электрическая схема нервного

волокна Ходжкина и Хаксли

Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждый из которых отмечен некоторой вероятностью открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) мембраны клетки. Каналы мембранных пор отвечают за пассивную проводимость ({\displaystyle G_ {L}} g_L, где индекс L означает англ. leak – «течь, утечка»). Электрохимический градиент побуждает ионы к движению через мембранные каналы, он показан с помощью источников напряжения с соответствующей электродвижущей силой ({\displaystyle E_ {n}} E_n и {\displaystyle E_ {L}} E_L), величина которой определяется реверсивным потенциалом для соответствующего вида иона. Ионные транспортёры соответствуют источникам тока ({\displaystyle I_ {p}} I_p). Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны ({\displaystyle {\dot {V}} _ {m}} V_m) при описанных условиях пропорциональна сумме токов в полной электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:

где I_i означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.

Полная система уравнений, описывающая всё многообразие взаимосвязанных изменений во времени электрических характеристик возбудимой мембраны, такова:

Рисунок 43 Система уравнений, называемая моделью Ходжкина – Хаксли.

Я не предлагаю читателю постичь эту систему уравнений, и привожу её лишь как пример сложности. Эта система и называется моделью Ходжкина – Хаксли, или, сокращённо, моделью X—X.

Подобная форма представления позволяет включить любые токи. Обычно исследуют «втекающие» Ca₂+ и Na+, а также несколько видов «вытекающих» K+, с учётом токов утечки. Конечный результат представлен как минимум двадцатью различными параметрами, которые необходимо определить и откалибровать для точного функционирования модели.

Вот теперь и стало возможным объяснить возникновение ПД строго математически. И хотя эту систему оказалось невозможным решить в явном виде, в математике существовали методы, которые позволяли вычислять значения этих функций для любых конкретных условий, находя последовательно значения, которые принимает потенциал с течением времени.

Произвести такие вычисления в 1952 году было очень трудно, и тем не менее Хаксли вручную сумел рассчитать, как меняется мембранный потенциал со временем, если за начальные принять условия, при которых возникает возбуждение. Результат этого расчёта почти в точности описывает форму потенциала действия, найденную экспериментальным путём для тех же условий.

Для сложных систем из большого количества нейронов вычислительная сложность, необходимая для работы модели, достаточно велика. Поэтому для практического применения зачастую требуются значительные упрощения.

Начиная с 1959 года, Хаксли и независимо от него Кол с сотрудниками начали использовать ЭВМ. Вместо крайне трудоёмких вычислений оказалось достаточным написать не слишком сложную программу. Это был один из первых случаев использования компьютера в биологии.

Ходжкин и Хаксли прекрасно объяснили величину мембранного потенциала в момент прохождения нервного импульса и математически описали его форму. В результате модель Ходжкина – Хаксли с, одной стороны, важна как система описания ПД в нервных волокнах, а с другой – она показывает достаточность допущений, лежащих в основе этого описания, т. е. показывает, что, используя их, можно моделировать все основные свойства ПД.

Рассматривая модель Ходжкина – Хаксли очень важно помнить, что математическая модель не есть реальность, она – всего лишь математическое представление реальности, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой (реальной) системе.

Все науки и естественные, и общественные, применяющие математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием: подменяют реальный объект исследования его математической моделью и затем исследуют последнюю. Связана математическая модель с реальностью посредством набора гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект или процесс, построенный на этапе содержательного моделирования. Математическая модель позволяет предсказать поведение реального объекта.

Модель Фицхью и Нагумо.

Имеют право на существование и другие модели, например, предложенные в 1961—1962 годах Фицхью и Нагумо упрощения, применимые к модели Ходжкина – Хаксли. Модель, описывающая «регенеративное самовозбуждение» посредством нелинейной положительной обратной связи напряжения на мембране, а также «восстановление» посредством линейной отрицательной обратной связи напряжения на затворе.

где, как и прежде, имеется мембранное напряжение и входной ток, а также коэффициенты, подобранные экспериментально a = —0.7, b = 0.8, τ = 1/0.08. Несмотря на неочевидность соответствия модели биологическим исследованиям, она довольно хорошо описывает динамику, имея при этом небольшую сложность.

Создано несколько компьютерных программ, таких как GENESIS и NEURON, которые позволяют проводить быстрое и систематическое моделирование in silico реалистичных нейронов.

История искусственных нейронных сетей

Предпосылки

Ещё в 1894 году Сантьяго Рамон-и-Кахаль выдвинул идею, что определённого рода изменения в синапсах могут быть важны для обучения: «…Использование психических функций способствует бо́льшему развитию протоплазменного аппарата и нервных коллатералей в задействованной части мозга. Тем самым ранее существовавшие связи между группами клеток могут усиливаться за счёт умножения ветвей окончаний… Но ранее существовавшие связи могут также усиливаться за счёт образования новых коллатералей и… разрастаний».

В современном виде эту гипотезу развил в 1948 году польский нейрофизиолог Ежи Конорский, ученик Павлова. Он доказывал, что сенсо́рный раздражитель может вызывать в нервной системе изменения двух типов. Первый тип, который он называл возбудимостью, возникает вслед за прохождением по проводящему пути одного или нескольких потенциалов действия в ответ на сенсо́рный раздражитель. Запускание потенциалов действия на какое-то время повышает порог, необходимый для вызывания новых потенциалов действия в этих нейронах (хорошо известное явление, называемое рефрактерным периодом).