Александр Астахов – Физика. Порядок вещей, или Осознание знаний. Книга 2 (страница 7)

Девиация это академическое отклонение тела от реальной траектории движения с достигнутой на момент схода с траектории скоростью за период движения без ускорения. Чтобы вернуть тело на его место на траектории, необходимо обеспечить ему ускорение, дефицит которого образуется в течении времени образования девиации. Очевидно, что ускорение по преодолению девиации в малом интервале времени в некотором приближении соответствует реальному абсолютному ускорению криволинейного движения.

Как показано на рисунке (4.1.2.2) реальному пути с поворотным ускорением, т.е. девиации поворотного движения соответствует дуга окружности (ВГ) со средним радиусом. При этом, если вычесть начальный радиус (А), который обеспечивает движение с начальной линейной скоростью, то дуга окружности со средним радиусом будет вдвое меньше дуги с максимальным радиусом (ДС). Следовательно, в этом выводе ускорение Кориолиса так же как и в трёхточечной схеме завышено вдвое.

С учётом изложенного определим ускорение Кориолиса (а_к) через чевиацию поворотного движения.

S_ВГ = Vл_Б * t + а_{к *} t² / 2 (4.1.2.1)

Где Vл_Б – линейная скорость точки (Б)

Определим средний радиус дуги (ВГ):

R_ср = (ОС + А) / 2 (4.1.2.2)

ОС = А + V_р * t (4.1.2.3)

Подставляя (4.1.3) в (4.1.2) получим:

R_ср = (2A + V_р * t) / 2 (4.1.2.4)

Путь (S), выраженный через угловую скорость (ω), определится выражением:

S = R_ср * ω * t (4.1.2.5)

Подставляя (4.1.4) в (4.1.5) и приравняв (4.1.1) и (4.1.5) получим:

Vл_Б * t + а_к * t² / 2 = (А + Vр * t / 2) * ω * t

или

2 * Vл_Б * t + а_к * t² = 2 * А * ω * t + Vр *ω * t²

или

2 * Vл_Б / t + а_к = 2 * А * ω / t + Vр * ω (4.1.2.6)

Отсюда находим ускорение Кориолиса (а_к):

а_к = 2 * А * ω / t + Vр * ω – 2 * V_лб / t (4.1.2.7)

Заметим, что произведение А*ω есть не что иное, как (Vл_Б). Произведя замену, получим выражение (4.1.8), в котором отсутствует начальная линейная скорость, т.е. ускорение Кориолиса зависит только от угловой скорости переносного вращения и линейной скорости относительного движения:

а_к = ω * Vр (4.1.2.8)

Выражение (4.1.8), полученное с учётом реального изменения радиуса поворотного движения отличается от формулы (4.1.9) для классического ускорения Кориолиса (а_к):

а_к = 2 * Vр * ω (4.1.2.9)

В случае изменения направления движения тела (Б) на противоположное, т.е. к центру вращения выражение для (Rср) приобретет вид:

R_ср = (А – V * t) / 2 (4.1.2.10)

S = Vл_Б * t – а_к * t² / 2 (4.1.2.11)

Тогда получим для (а_к):

— а_к = 2 * Vл_{Б /} t – 2 * А * ω / t + V * ω (4.1.2.12)

или

— а_к = ω * Vр (4.1.2.13)

***

Поскольку формулы ускорения Кориолиса (4.1.2.8) и (4.1.2.13) соответствуют приращению либо только линейной скорости относительного движения по направлению, либо только приращению линейной скорости переносного движения по абсолютной величине, то формулу ускорения Кориолиса намного проще вывести через прирост линейной скорости переносного вращения.

Пусть тело (Б) движется (см. рис. 4.1.2.2) вдоль радиуса в направлении точки (Д) с постоянной радиальной скоростью (Vр). За время (t) – время прохождения пути (БС) линейная скорость движения по окружности увеличится от линейной скорости точки (Б) – (Vлб) до линейной скорости точки (С) – (Vлс). Разгон происходит под воздействием направляющей (ОД) на тело (Б) с силой эквивалентной силе Кориолиса (Fк) и ускорением Кориолиса (а_к). Ускорение определяется как прирост линейной скорости за единицу времени (t):

а_к = (Vл_С – Vл_Б) / t (4.1.2.14)

Если выразить линейные скорости через угловую скорость получим:

а_к = (ω * (А + Vр * t) – ω * А) / t (4.1.2.15)

или:

а_к = ω * Vр (4.1.2.16)

В некоторых случаях радиальное относительное движение может осуществляться с ускорением. Это необходимо учитывать при определении ускорения Кориолиса. Рассмотрим случай равноускоренного радиального движения.

Вернемся еще раз к формуле (4.1.2.14):

ак = (Vл_С – Vл_Б) / t (4.1.2.14)

Запишем выражение для линейной (окружной) скорости в точке (Б):

Vл_Б = ω * А (4.1.2.17)

И для линейной (окружной) скорости точки (С):

Vл_С = ω * (А + V_р * t) (4.1.2.18)

Здесь (Vр) – радиальная скорость с учетом радиального ускорения.

Скорость (Vр) можно найти через радиальное ускорение. Так как ускорение в общем случае может меняться, найдем среднюю величину радиального ускорения (ар) на участке (БС):

а_р = (а_рс + а_рб) / 2 (4.1.2.19)

Тогда радиальная скорость с учетом радиального ускорения определится выражением:

Vр = Vр_н + (а_рс + а_рб) * t/2 (4.1.2.20) где: Vр_н – радиальная скорость начальная.

Подставим (4.1.2.20) в (4.1.2.18):

Vл_С = ω * (А + (Vр_н + (а_рс + а_рб) * t / 2) * t) =

= ω * А + ω * t * Vр_н + ω * а_рс * t ² / 2 + ω * а_рб * t² / 2 (4.1.2.21)

Подставим (4.1.2.21) и (4.1.2.17) в (4.14):

а_к = ω * А / t + ω * Vр_н + ω * а_рс * t / 2 + ω * а_рб * t / 2 – ω * А / t

тогда формула для ускорения Кориолиса при ускоренном радиальном движении примет вид:

а_к = ω * Vр_н + ω * t * (а_рс + а_рб) / 2 (4.1.2.22)

Как следует из выражения (4.1.2.8) и (4.1.2.16), девиация поворотного движения не зависит от начальной линейной скорости переносного вращения, т.к. начальная скорость есть величина постоянная. Поэтому приращение поворотного движения в каждом минимальном интервале времени, начинающегося не с нулевого радиуса эквивалентно приращению поворотного движения с нулевого радиуса.

***

Аналогичный предыдущему геометрический вывод ускорения Кориолиса приведен в справочнике по физике: Х. Кухлинг, «Справочник по физике», МОСКВА, «МИР», 1983.

«Перемещение тела в радиальном направлении равно r = vt. За то же время точка, удаленная от центра вращения на расстояние r, пройдет по дуге окружности путь s = rωt. Подставив сюда выражение для r, получим s = vtωt = vωt². Отсюда следует, что s ~ t², т.е. движение происходит ускоренно, а s = аt²/2. Таким образом, vωt² = аt²/2, следовательно, ускорение Кориолиса равно а_к = 2vω» (см. Рис. 4.1.8).

Рис. 4.1.2.3

Как и в большинстве случаев описания физических явлений в современной физике, в выводе Кухлинга какие—либо физические обоснования ускорения Кориолиса отсутствуют. У Кухлинга нет никаких пояснений, из каких соображений путь (s) увязывается с приращением, полученным непосредственно за счет ускорения Кориолиса, кроме некорректной с физической точки зрения фразы:

«За то же время точка, удаленная от центра вращения на расстояние r, пройдет по дуге окружности путь s = rωt».