Адитья Бхаргава – Грокаем алгоритмы. Иллюстрированное пособие для программистов и любопытствующих (страница 24)
Вы знаете, что это решение неокончательно. В процессе работы алгоритма оценка будет уточняться.
Магнитофон
Займемся следующей строкой, которая относится к магнитофону. Теперь, когда вы перешли ко второй строке, появляется выбор между магнитофоном и гитарой. В каждой строке можно взять предмет этой строки или предметы, находящиеся в верхних строках. Таким образом, сейчас нельзя выбрать ноутбук, но можно выбрать магнитофон и/или гитару. Начнем с первой ячейки (рюкзак с емкостью 1 фунт). Текущая максимальная стоимость предметов, которые можно положить в рюкзак с емкостью 1 фунт, составляет $1500.
Брать магнитофон или нет?
Емкость рюкзака составляет 1 фунт. Поместится туда магнитофон? Нет, он слишком тяжел! Так как магнитофон не помещается в рюкзак, максимальная оценка для 1-фунтового рюкзака
То же самое происходит со следующими двумя клетками. Емкость этих рюкзаков составляет 2 и 3 фунта соответственно. Старая максимальная стоимость для обеих ячеек была равна $1500.
Магнитофон все равно не помещается, так что оценка остается неизменной.
А если емкость рюкзака увеличивается до 4 фунтов? Ага, магнитофон наконец-то войдет в рюкзак! Старая максимальная стоимость была равна $1500, но если вместо гитары положить магнитофон, она увеличится до $3000! Берем магнитофон.
Оценка только что обновилась! Имея рюкзак емкостью 4 фунта, вы можете положить в него товары стоимостью по крайней мере $3000. Из таблицы видно, что оценка постепенно возрастает.
Ноутбук
А теперь проделаем то же для ноутбука! Ноутбук весит 3 фунта, поэтому он не поместится в рюкзак с емкостью 1 или 2 фунта. Оценка для первых двух ячеек остается на уровне $1500.
Для 3 фунтов старая оценка составляла $1500. Но теперь вы можете выбрать ноутбук, который стоит $2000. Следовательно, новая максимальная оценка равна $2000!
При 4 фунтах ситуация становится по-настоящему интересной. Это очень важная часть. В настоящее время оценка составляет $3000. В рюкзак можно положить ноутбук, но он стоит всего $2000.
Так-так, старая оценка была лучше. Но постойте! Ноутбук весит всего 3 фунта, так что 1 фунт еще свободен! На это место можно еще что-нибудь положить.
Какую максимальную стоимость можно разместить в 1 фунте? Да вы же уже вычислили ее!
В соответствии с последней оценкой в свободном месте емкостью в 1 фунт можно разместить гитару стоимостью $1500. Следовательно, настоящее сравнение выглядит так:
Вы удивлялись, зачем мы вычисляем максимальную стоимость для рюкзаков меньшей емкости? Надеюсь, теперь все стало на свои места! Если в рюкзаке остается свободное место, вы можете использовать ответы на эти подзадачи для определения того, чем заполнить это пространство. Вместо магнитофона лучше взять ноутбук + гитару за $3500.
В завершающем состоянии таблица выглядит так:
Итак, мы получили ответ: максимальная стоимость товаров, которые поместятся в рюкзак, равна $3500 — для гитары и ноутбука.
Возможно, вы подумали, что я воспользовался другой формулой для вычисления стоимости последней ячейки. Это связано с тем, что я опустил некоторые лишние сложности при заполнении предыдущих ячеек. Стоимость каждой ячейки вычисляется по постоянной формуле, которая выглядит так:
Применяя эту формулу к каждой ячейке таблицы, вы получите такую же таблицу, как у меня. Помните, что я говорил о решении подзадач? Вы объединили решения двух подзадач для решения еще одной, большей задачи.
Задача о рюкзаке: вопросы
Вам все еще кажется, что это какой-то фокус? В этом разделе я отвечу на некоторые часто задаваемые вопросы.
Что произойдет при добавлении элемента?
Представьте, что вы увидели четвертый предмет, который тоже можно засунуть в рюкзак! Вместе со всем предыдущим добром можно также украсть iPhone.
Придется ли пересчитывать все заново с новым предметом? Нет. Напомню, что динамическое программирование последовательно строит решение на основании вашей оценки. К настоящему моменту максимальные стоимости выглядят так:
Это означает, что в рюкзак с емкостью 4 фунта можно упаковать товары стоимостью до $3500. И вы полагали, что это итоговый максимум. Но давайте добавим новую строку для iPhone.
Оказывается, в таблице появляется новый максимум! Попробуйте заполнить последнюю строку, прежде чем читать дальше.
Начнем с первой ячейки. iPhone сам по себе помещается в рюкзак с емкостью 1 фунт. Старый максимум был равен $1500, но iPhone стоит $2000. Значит, берем iPhone.
В следующей ячейке можно разместить iPhone
Для ячейки 3 ничего лучшего, чем снова взять iPhone вместе с гитарой, все равно не найдется, поэтому оставим этот вариант.
А вот в последней ячейке ситуация становится более интересной. Текущий максимум равен $3500. Вы снова можете взять iPhone, и у вас еще останется свободное место на 3 фунта.
Но эти 3 фунта можно заполнить на $2000! $2000 от iPhone + $2000 из старой подзадачи: получается $4000. Новый максимум!
Вот как выглядит новая завершающая таблица.
Вопрос: может ли значение в столбце
Подумайте над ответом, прежде чем продолжить чтение.
Упражнения
9.1 Предположим, к предметам добавился еще один: MP3-плеер. Он весит 1 фунт и стоит $1000. Стоит ли брать его?
Что произойдет при изменении порядка строк?
Изменится ли ответ? Допустим, строки заполняются в другом порядке: магнитофон, ноутбук, гитара. Как будет выглядеть таблица? Заполните таблицу самостоятельно, прежде чем двигаться дальше.
Таблица должна выглядеть так:
Ответ не изменился. Он не зависит от порядка строк.
Можно ли заполнять таблицу по столбцам, а не по строкам?
Попробуйте сами! В данной задаче это ни на что не влияет, но в других задачах возможны изменения.
Что произойдет при добавлении меньшего элемента?
Допустим, вы можете выбрать ожерелье, которое весит 0,5 фунта и стоит $1000. Пока структура таблицы предполагает, что все веса являются целыми числами. Теперь вы решаете взять ожерелье. Остается еще 3,5 фунта. Какую максимальную стоимость можно разместить в объеме 3,5 фунта? Неизвестно! Вы вычисляли стоимость только для рюкзаков с емкостью 1, 2, 3 и 4 фунта. Теперь придется определять стоимость для рюкзака на 3,5 фунта.
Из-за ожерелья приходится повысить точность представления весов, поэтому таблица должна измениться.
Можно ли взять часть предмета?
Допустим, вы наполняете рюкзак в продуктовом магазине. Вы можете украсть мешки с чечевицей и рисом. Если весь мешок не помещается, его можно открыть и отсыпать столько, сколько унесете. В этом случае вы уже не действуете по принципу «все или ничего» — можно взять только часть предмета. Как решить такую задачу методом динамического программирования?
Однако проблема легко решается с помощью жадного алгоритма! Сначала вы берете самый ценный предмет — настолько большую его часть, насколько возможно. Когда самый ценный предмет будет исчерпан, вы берете максимально возможную часть следующего по ценности предмета и т.д.
Допустим, вы можете выбирать из следующих товаров.
Фунт киноа стоит дороже, чем фунт любого другого товара. А раз так — набирайте столько киноа, сколько сможете унести! И если вам удастся набить им свой рюкзак, то это и будет лучшее из возможных решений.
Если киноа кончится, а в рюкзаке еще остается свободное место, возьмите следующий по ценности товар и т.д.
Оптимизация туристического маршрута
Представьте, что вы приехали в Лондон на выходные. У вас два дня, а мест, которые хочется посетить, слишком много. Побывать везде не получится, поэтому вы составляете список.
Для каждой достопримечательности, которую вы захотите увидеть, вы указываете, сколько времени займет осмотр и насколько сильно вы хотите ее увидеть. Сможете ли вы построить оптимальный туристический маршрут на основании этого списка?
Да это все та же задача о рюкзаке! Вместо ограниченной емкости рюкзака — ограниченное время. Вместо магнитофонов и ноутбуков — список мест, которые вы хотите посетить. Нарисуйте таблицу динамического программирования для списка, прежде чем двигаться дальше.
Вот как должна выглядеть эта таблица:
Вы изобразили ее правильно? Теперь заполните. Какие достопримечательности вы выберете? Ответ:
Взаимозависимые элементы
Предположим, вы хотите посетить Париж и добавили в свой список пару элементов.
На их посещение потребуется много времени, потому что сначала придется приехать из Лондона в Париж. Переезд отнимает полдня. Если вы захотите посмотреть все 3 достопримечательности, осмотр займет 4,5 дня.
Стоп, небольшая поправка. Вам не обязательно приезжать в Париж ради каждой достопримечательности. После того как вы там окажетесь, каждый последующий элемент займет всего один день. Следовательно, потребуется 1 день на каждую достопримечательность + 1 день на переезды = 3,5 дня, а не 4,5.