Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 88)

· c) Точно так же немыслимо бесконечно-малое и тогда, когда оно не есть континуум. Если он не есть континуум, это значит, что в нем отсутствует само становление, процесс и уже тем более, значит, отсутствует непрерывность. А это значит, что бесконечно-малое есть постоянная величина, что противоречит самому его понятию.

Итак: если бесконечно-малое не есть в то же время конечное, оно есть становление неизвестно чего; если оно не есть еще и трансфинитное, оно есть становление неизвестно какое[41]; если, наконец, оно не есть континуум, оно вообще не есть становление, или процесс, оно вообще не есть переменная величина.

III. Как возможен континуум?

· a) Допустим, что континуум не содержит в себе ровно ничего, что указывало бы на конечность. Это значит, что континуум лишен категории едино-раздельности. Но если нет едино-раздельности, то нет и сплошности, ибо последняя есть не что иное, как заполненная едино-раздельность. Однако, что получится, если мы выделим из континуума все, что создает в нем сплошность, и постараемся получить едино-раздельность? Это значит, что мы получим континуум, в котором не будет никакого счетного скелета, т.е. окажется неизвестным, сплошностью чего именно является континуум. Мы получим множество всех действительных чисел, в котором, однако, нельзя будет указать ни одного рационального числа (ибо множество всех рациональных чисел – счетное), что невозможно. Это, конечно, не значит, что континуум состоит из этих едино-раздельных элементов; но это значит, что для сплошности необходим едино-раздельный скелет, который после своего заполнения и превращается в неразличимую сплошность.

· b) Континуум немыслим и без инфинитезимального момента. Это значило бы, что он мыслим вне процесса становления, а тут мы пришли бы к его распадению на дискретное множество. Каждая «точка» континуума, по вышеизложенному ([п. 9]), есть именно становящаяся точка, так что лучше уже говорить не о точках, а прямо об отрезках.

· c) Наконец, континуум, лишенный признаков трансфинитности, есть континуум, в котором ни одна точка не есть предельная. А это исключается самим определением континуума как совершенного множества.

Итак: континуум вне категории конечного есть сплошность неизвестно чего; он же, лишенный категории трансфинитного, есть сплошность неизвестно какая; а лишенный категории бесконечно-малого, он вообще не есть сплошность.

1) Самое же главное (оно же предпосылка, оно же резюмирующий вывод) во всем этом исследовании заключается в отрицании грубо-количественного подхода не только к категориям континуума, трансфинитных чисел и бесконечно-малых величин, но даже и к самим конечным числам и величинам. Даже и конечность числа не есть количественная характеристика числа, ибо по голому количеству еще нельзя судить, конечное оно или бесконечное. Если я сказал «пять», то только обыденная традиция человеческого сознания заставляет признать, что это есть именно нечто конечное. Сама же отвлеченно взятая пятерка – и бесконечность, и континуум, и ни то ни другое, смотря по точке зрения. В связи с этим шестерка больше, чем пятерка, но бесконечность ничуть не больше пятерки; и если математики так выражаются, то они сами же себя секут, когда начинают оперировать с бесконечными величинами. Оказывается, хотя последние только и «больше» конечных, но на самом деле они по самому существу своему совсем другие, так что неприменимо даже самое это понятие «больше» или, вернее, оно имеет тут везде разный диалектический смысл.

Одна структура – это арифметическая едино-раздельность; тут свое понимание «большего», «меньшего» и «равного», а именно, эти понятия даны едино-раздельно, стабильно. Совсем другая структура – инфинитезимальное становление; другое здесь и понимание «больше», «меньше» и «равняется», а именно, тут самые эти понятия даны в становлении, в текучести, поэтому и самые операции в анализе бесконечно-малых совсем другие. Как ясно из предыдущего исследования понятия трансфинитного числа и континуума, также и здесь свое собственное понимание этих >, < и =. Поэтому нельзя говорить, что бесконечное больше конечного, если само «больше» в бесконечном и конечном разное.

Можно сказать еще и так. Конечное и многочисленные виды бесконечного не есть различие предметное, бытийственное, но – чисто смысловое, а именно, выразительно-смысловое. С точки зрения онтологической предметности о бытии с одинаковым правом можно сказать и что оно конечное, и что оно бесконечное, и что оно континуальное, сплошное.

Можно сказать, что существует только конечное, а бесконечность и континуум есть его виды (хотя тут надо было бы проанализировать, что значит «вид»).

Можно сказать, что существует только бесконечное, а конечное и континуум есть его виды.

Можно сказать, что существует только континуум, а конечное и бесконечное есть его виды.

Везде тут по-разному придется понимать термин «вид», но, не вникая в подробности, можно с некоторым грубоватым, но вполне реалистическим добродушием сказать, что одно тут «подчинено» другому и что каждая из этих категорий вполне «выводима» из другой. В одном случае «выведение» есть заполнение фона, в другом оно есть выделение и вырезывание на некоем фоне. Но зато уже ни при каком реализме недопустим ни мещанский субъективизм Брауэра и Бэра, ни рационалистическая импотенция Бореля и Лебега. Только «демон» Цермело немного высовывает свою голову из этого мещанского болота мелкого субъективизма, да и тут способен только беспомощно выставить правильный тезис, будучи не в силах претворить его в живую действительность.

§ 73.

Аксиома выражения в теории вероятностей

Наконец, необходимо дать не подробную, но все же принципиально определенную установку для дедукции выразительной сферы и в области теории вероятностей. Ограничимся самым необходимым.

a) Выражение есть внешность, по которой узнается внутреннее. До сих пор (§ 49, 53, 57, 61.4, 62.5, 63.7) мы находили в теории вероятностей только такие категории, о которых нельзя было сказать, внутренние они или внешние. Самое это различие впервые зарождается там, где полагается различие факта и смысла, т.е. на ступени наличного бытия. Дальнейшее уже будет смыслом факта, т.е. чем-то внешним, поскольку и факт есть внешнее в сравнении с тем внутренним, которым теперь оказывается чистый, т.е. до-фактный, смысл. Раньше мы находили в теории вероятностей отдельные операции над вероятностями (§ 62.5) и закон больших чисел (§ 63.7). Необходимо, следовательно, подчинить эти операции и это применение закона больших чисел таким новым преобразованиям, которые бы превратили их в то, что, будучи по существу внутренним, теперь сорганизовалось заново и потому стало внешним.

b) Наиболее яркую форму этого теоретико-вероятностного выражения надо находить в учении о законе нормального распределения вероятностей и вообще в теории построения нормальных и уклоняющихся от нормы кривых распределения.

Здесь, во-первых, сначала имеются в виду вообще теоретико-вероятностные операции, так как тут наличен целый ряд вероятностей, так или иначе получаемых из опыта или теории, и также – закон больших чисел, потому что здесь ставится вопрос, какою функцией является вероятность, когда по мере возрастания количества событий сглаживаются случайные уклонения отдельных событий от их математических ожиданий. Однако это еще не все.

Именно, во-вторых, здесь разыскивается закон распределения вероятностей, т.е. здесь самое исчисление вероятностей является чем-то отвлеченным, внутренним, получающим внешнюю конкретность от нового оформления.

Следовательно, и здесь аксиому выражения необходимо формулировать как утверждение тождества внутренно-внешних направлений становления для исчисления вероятностей.

Мы не будем анализировать ни предельных теорем Лапласа, А.М. Ляпунова и А.А. Маркова, ни закона (Гаусса) нормального распределения вероятностей, ограничиваясь только их общей диалектической установкой. Но ясно, что тут мы находимся в сфере теоретико-вероятностного выражения – уже по одному тому, что оперируем с кривыми, которые всегда есть выражение в отношении аналитических данных. Но тут, кроме того, исследуется становление вероятностей, определенным образом сконструированное, а именно путем выключения всяких случайных уклонений, т.е. путем выявления чисто смысловой стороны становления. А сконструированное таким смысловым образом становление всегда есть выразительная форма.

Но в предыдущих параграфах мы констатировали разные диалектические типы выразительной измеримости. Арифметика дала нам разные типы преобразований, которые в геометрии соответствуют разным типам пространства. Если даже и не входить в подробности, то нельзя ли дать хотя бы общую установку для такого понимания вероятности, которое можно было бы назвать неэвклидовским? Да, такая методологическая позиция уже давно намечена в науке, и в настоящее время она обросла солидным математическим аппаратом. Я имею в виду основные факты т.н. волновой механики.

В чем тут дело? Придется на минуту отклониться в сторону, чтобы наше утверждение о «неэвклидовости» вероятности стало более или менее понятным[42].