Алексей Лосев – Диалектические основы математики (страница 87)

«1. „Демон“ Брауэра. Его область есть область целого конечного, и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит „вне математики“.

2. „Демон“ Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное – это лишь façon de parler[40] и находится „вне математики“.

3. „Демон“ Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество – „вне математики“.

4. „Демон“ Лебега. Его область есть область мощности континуума. Всякая операция, требующая континуум простых шагов, доступна этому „демону“; поэтому определение верхней меры еще лежит в области математики. Но мощность 2^c, мощность совокупности всех функций, уже отрицается Лебегом и не по силам его „демону“.

5. „Демон“ Цермело. Его поле операций – всякие мощности, в частности, всякое множество „демон“ Цермело может „сделать“ вполне упорядоченным».

Что может сказать философ по этому поводу? Можно только улыбнуться наивности этих философских рассуждений и похвалить за откровенное признание математиками субъективизма своей философии. Сказать, что существует только конечное и нет ничего бесконечного, или сказать, что существует только бесконечное и нет никаких подразделений в сфере бесконечного, – это значит слишком откровенно раскрывать свои ни на чем не основанные, но весьма интимные потребности и симпатии.

Приходится и здесь покинуть эту зыбкую и наивную почву кустарных домыслов и обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики. Но суд диалектики беспощаден.

b) Для диалектики совершенно нет никаких оснований предпочитать одну категорию другой. Если та или иная категория как-нибудь образовалась, т.е. имеет тот или иной смысл, то этого уже достаточно для того, чтобы ее нельзя было уничтожить никакими силами. Если конечное, бесконечное и разные виды бесконечного являются хоть какими-нибудь логическими категориями (пусть не столь богатыми, как можно было бы предполагать), то этим уже все решено: никакую категорию нельзя просто уничтожить, ее можно только подчинить другой или, наоборот, другую категорию подчинить ей, можно, наконец, при желании, и совсем о ней не размышлять, но если она хоть что-нибудь значит, то мыслить ее можно только как необходимую. Следовательно, поскольку в предыдущем мы именно установили смысл выразительно-числовых категорий, постольку все они для нас обязательны, и мы не можем пожертвовать ни бесконечным в пользу конечного, ни конечным в пользу бесконечного. Речь может идти только о диалектической системе этих категорий, т.е. о том, в каком смысле одна из них предполагает другую и как они объединяются в одно целое.

c) Чтобы укрепиться в той позиции, что рассмотренные нами выразительные формы есть именно категории, обратим внимание на то, что им вовсе не свойственны чисто количественные различия. Профан обычно думает, что конечное – это что-то обязательно очень маленькое, а вот бесконечное – это что-то ужасно огромное, что получается в результате постепенного увеличения малых размеров конечной величины.

Эта точка зрения должна быть уничтожена до последнего основания.

Никаким увеличением нельзя конечное превратить в бесконечное и бесконечное в континуум. Тут разница не по количеству, а по качеству или, точнее говоря, по категории. Никогда одна категория не расплывается и не воссоединяется так, чтобы из этого получилась другая категория. Эту другую категорию никаким способом нельзя получить откуда-нибудь, если она еще не существует сама по себе. Всякое получение одной категории из другой в диалектике вполне равносильно и их полной взаимной независимости и самостоятельности.

В частности, нужно сказать, что данный отрезок прямой вовсе не должен быть увеличиваем до бесконечности, чтобы мы имели эту бесконечность реально. Каждый конечный отрезок, как бы мал он ни был, уже есть бесконечность точек и интервалов и даже континуум, и даже в известном смысле тотальность.

Бесконечность отличается от конечного вовсе не тем, что она больше его.

Один и тот же отрезок, например – в один сантиметр, может считаться и конечным, и бесконечным, и континуальным, и тотальным, смотря по точке зрения, т.е. смотря по той категории, которую мы употребим для оценки данного отрезка.

Вот почему нелепы рассуждения тех математиков, которые допускают в своей науке только конечные величины, но пугаются счетных множеств или допускают счетные множества, но пугаются еще высших мощностей. Уже допустивши отрезок [0; 1], математик допустил решительно все – и конечную, и счетную, и континуальную, и тотальную мощность. И даже если бы он допустил отрезок, в любое количество раз меньший, чем [0; 1], он все равно уже фактически, но скрыто для себя, допустил все указанные основные выразительные формы числа.

Итак, в отношении выразительно-числовых форм мы должны выставить следующие положения.

1. Существует четыре основных выразительно-числовых формы:

· a) конечная,

· b) инфинитезимальная,

· c) трансфинитная и

· d) континуально-тотальная.

2. Если число дано на стадии выразительной формы, то оно сразу содержит в себе все эти четыре формы. Если оно характеризуется хотя бы одной из этих форм, то остальные также присутствуют тут целиком.

3. Это, однако, не значит, что всеми ими нужно пользоваться сразу. Обычно выбирается и фиксируется какая-нибудь одна из них, смотря по той категории, которую желательно иметь в виду. Конечная выразительная форма основана на категории едино-раздельности (или бытия определенного), инфинитезимальная – на категории становления, трансфинитная – на категории ставшего и континуально-тотальная – на категории энергийно-эманативного бытия.

4. Никакая из этих категорий не сводима одна на другую, но никакая зато и не может существовать без других. Все они – нечто, и все они – разное.

d) Такая установка поможет нам и при детальном рассмотрении указанных форм, которого, впрочем, мы делать не будем, но которому зададим только определенное направление.

I. Как возможно конечное?

· a) Пусть существует конечная выразительная форма, которая в то же время не есть инфинитезимальная. Это значит, что в пределах этой формы невозможен ни малейший сдвиг, т.е. что от начального элемента конечного никуда сдвинуться нельзя, и, значит, тем более нельзя дойти до последнего элемента, т.е. конечное перестало быть конечным, обозримым.

· b) Допустим, что есть конечная выразительность без трансфинитной. Поскольку трансфинитное число есть предел конечной операции, постольку исключение трансфинитности есть исключение предела, т.е. самой возможности достигнуть конца. Значит, в конечном при таких условиях мы не смогли бы достигнуть последнего элемента, даже если сдвинулись бы с первого элемента, т.е. конечное перестало бы быть конечным, обозримым.

· c) Но пусть исключается континуум. Это значит, что внутри конечного образованы такие пропасти и разрывы, которые нельзя ничем преодолеть, так что если бы мы даже и обладали первым и последним элементом конечного множества, то мы не знали бы, что находится «посредине», т.е. не знали [бы], что наши элементы есть именно первый и последний.

Конечно то, что имеет начало, середину и конец. И вот оказывается: если конечное не есть в то же время стихия бесконечно-малого, то оно не имеет начала. Если оно не есть в то же самое время и трансфинитное, оно не может иметь конца. А если оно не есть континуум, то оно не имеет и середины. Скажут: а если сама едино-раздельность не обеспечивает нам начало, середину и конец? Да, это есть действительно категория определенного бытия, но мы не можем воспользоваться ни началом, ни серединой, ни концом для конструирования числа и множества, если нет налицо указанных условий. Начало есть, но мы не можем с него сдвинуться; середина есть, но мы не можем через нее пройти; конец есть, но мы его не достигаем. Являются ли в таком случае эти отвлеченные категории реальной характеристикой числа и множества?

Итак, если нет бесконечного, то нет ничего и конечного. Условием возможности конечного является бесконечное.

II. Как возможно бесконечно-малое и бесконечно-большое?

· a) Если существует бесконечно-малое, которое в то же время не является конечным, это значит, что оно есть чистое становление, в котором нет никакой едино-раздельности, т.е. которое вообще даже не есть нечто. Но тогда получается такое становление, в котором неизвестно, что именно становится. Но это есть только словесная нелепость, потому что для dx должно существовать само x. Бесконечно-малое существует лишь как известное приращение конечного. Бесконечно-малое и бесконечно-большое и есть не что иное, как становящееся конечное. Отбросивши здесь конечное, мы отбрасываем определенность самого понятия, т.е. делаем абсолютно алогичным и, значит, необсуждаем[ым] само бесконечно-малое.

· b) Но, может быть, существует инфинитезимальное бесконечное без всякой трансфинитности? Этого очень многим математикам хотелось бы… Но, к сожалению, это не так. Если в инфинитезимальном нет трансфинитного, то с точки зрения чистой логики это означает только, что становление здесь не имеет никакого направления, не имеет никакой цели, т.е. не содержит в себе предела. Однако момент предела входит в самое понятие бесконечно-малого и бесконечно-большого. Не нужно думать, что актуальная бесконечность существует только для бесконечно-большого. Веронезе показал, что существует также актуальное бесконечно-малое. Раз есть предел, то в условиях алогического становления уже с необходимостью существует и трансфинитное (хотя оно тут не используется), ибо последнее и есть определенный синтез становления с пределом.